$$
E\left(x^2\right)=\int_{-\infty}^{\infty} N\left(x \mid \mu, \sigma^2\right) x^2 d x=\mu^2+\sigma^2
$$
证明
最简单的是这样得到的
$E(2-\mu)^{2}=E(x^{2})-2u E(x)+\mu^{2}=\sigma^{2}$
我们来点不简单的推理方法:
首先数学期望公式如下:
$$
E(x^{2})=\int_{-\infty}^{\infty}x^{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}\right)\ d x
$$
变量替换
进行变量替换令$z=x-\mu$，上述式子转换为下述式子
$$
E(x^{2})=\int_{-\infty}^{\infty}(z+\mu)^{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}\exp\left(-\frac{z^{2}}{2\sigma^{2}}\right)~{}d z
$$
展开平方项后变成:
$$
E(x^{2})=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}\int_{-\infty}^{\infty}(z^{2}+2\mu z+\mu^{2})\exp\left(-\frac{z^{2}}{2\sigma^{2}}\right)\ dz
$$
将式子拆分成三个部分:
$$
E(x^2)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma^{2}}\left(\int_{-\infty}^{\infty}z^{2}\exp\left(-\frac{z^{2}}{2\sigma^{2}}\right)d z+2\mu\int_{-\infty}^{\infty}z\exp\left(-\frac{z^{2}}{2\sigma^{2}}\right)d z+\mu^{2}\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-\frac{z^{2}}{2\sigma^{2}}\right)d z\right)
$$
分部求积分
- $\int_{-\infty}^{\infty}z^{2}\exp\left(-\frac{z^{2}}{2\sigma^{2}}\right),d z$
这个部分的积分我们在《高斯函数的方差》中求过最终的结果为$I=\sigma^{2}\cdot\sqrt{2\pi\sigma^{2}}$
- $\int_{-\infty}^{\infty}z\exp\left(-\frac{z^{2}}{2\sigma^{2}}\right),d z$
这个函数满足$f(x)=-f(-x)$为奇函数所以这项的积分为0
到这里有没有发现我们目前所求的这两项其实就是我们高斯函数的方差$VAR(x)$
- $\mu^{2}\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-\frac{z^{2}}{2\sigma^{2}}\right),d z$
可以从《高斯函数概率密度函数的积分》得到
$$
I = \int_{-\infty}^{\infty} \exp\left(-\frac{x^2}{2}\right), dx \
$$
可以根据这个结果得到
$$
I = \mu^{2}\sqrt{2\pi\sigma^{2}}
$$
根据上述三个积分的结果我们可以得到$E(x^2)=\mu^2+\sigma^2$
由此我们还可以推导出一个基本的公式:$E(x^2)=VAR(x)-E^2(x)$