高斯分布的概率密度函数（PDF）为：
$$
f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left(-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}\right)
$$
我们需要证明高斯分布的概率密度函数在整个实数域上的积分等于1，即：
$$
\int_{-\infty}^{\infty} f(x), dx = 1
$$
1. 简化问题
首先，考虑标准正态分布（$\mu = 0$ 和 $\sigma = 1$），其概率密度函数为：
$$
f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{x^2}{2}\right)
$$
我们需要证明：
$$
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{x^2}{2}\right), dx = 1
$$
2. 计算积分
考虑积分：
$$
I = \int_{-\infty}^{\infty} \exp\left(-\frac{x^2}{2}\right), dx
$$
为了计算这个积分，我们可以使用极坐标变换的方法。首先，考虑 $I^2$：
$$
I^2 = \left( \int_{-\infty}^{\infty} \exp\left(-\frac{x^2}{2}\right), dx \right)^2 = \int_{-\infty}^{\infty} \exp\left(-\frac{x^2}{2}\right), dx \cdot \int_{-\infty}^{\infty} \exp\left(-\frac{y^2}{2}\right), dy
$$
将两个积分合并为一个二重积分：
$$
I^2 = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \exp\left(-\frac{x^2 + y^2}{2}\right), dx, dy
$$
3. 极坐标变换
将笛卡尔坐标 $(x, y)$ 转换为极坐标 $(r, \theta)$，其中：
$$
x = r \cos\theta, \quad y = r \sin\theta
$$
雅可比行列式为 $r$，因此：
$$
I^2 = \int_0^{2\pi} \int_0^\infty \exp\left(-\frac{r^2}{2}\right) r, dr, d\theta
$$
4. 计算径向积分
首先计算径向积分：
$$
\int_0^\infty \exp\left(-\frac{r^2}{2}\right) r, dr
$$
令 $u = \frac{r^2}{2}$，则 $du = r, dr$，积分变为：
$$
\int_0^\infty \exp(-u), du = 1
$$
5. 计算角度积分
角度积分为：
$$
\int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi
$$
6. 综合结果
因此，
$$
I^2 = 2\pi \cdot 1 = 2\pi
$$
所以，
$$
I = \sqrt{2\pi}
$$
7. 归一化
回到标准正态分布的概率密度函数：
$$
f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{x^2}{2}\right)
$$
其积分为：
$$
\int_{-\infty}^{\infty} f(x), dx = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot \sqrt{2\pi} = 1
$$
8. 一般情况
对于一般的高斯分布：
$$
f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} \exp\left(-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}\right)
$$
通过变量替换 $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$，可以将积分转化为标准正态分布的形式，从而证明其积分也为1。
结论
高斯分布的概率密度函数在整个实数域上的积分等于1，这是概率密度函数的基本性质之一。